Résoudre 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 12 à a, -2 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Additionner 4 et -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Diviser 2+2i\sqrt{59} par 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{59} à 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Diviser 2-2i\sqrt{59} par 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Divisez les deux côtés par 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

La division par 12 annule la multiplication par 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{12} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Divisez -\frac{1}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{12}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Additionner -\frac{5}{12} et \frac{1}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Ajouter \frac{1}{12} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$