Résoudre 12x^2+23x-24

$$12 x ^ { 2 } + 23 x - 24$$

Factoriser

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 12x^{2}+ax+bx-24. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=23 ab=12\left(-24\right)=-288$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -288.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 23.

$$a=-9 b=32$$

Réécrire 12x^{2}+23x-24 en tant qu’\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right)$$

Factorisez 3x du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(4x-3\right)+8\left(4x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x-24=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par -24.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}$$

Additionner 529 et 1152.

$$x=\frac{-23±\sqrt{1681}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 1681.

$$x=\frac{-23±41}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{-23±41}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±41}{24} lorsque ± est positif. Additionner -23 et 41.

$$x=\frac{18}{24}$$

Réduire la fraction \frac{18}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±41}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 41 à -23.

$$x=-\frac{64}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-64}{24} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{4} par x_{1} et -\frac{8}{3} par x_{2}.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Soustraire \frac{3}{4} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Additionner \frac{8}{3} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+8}{3}$$

Multiplier \frac{4x-3}{4} par \frac{3x+8}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{4\times 3}$$

Multiplier 4 par 3.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{12}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 12 dans 12 et 12.

$$12x^{2}+23x-24=\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Évaluer

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$