Résoudre 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Factoriser

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 12t^{2}+at+bt-10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-15 b=8$$

Réécrire 12t^{2}-7t-10 en tant qu’\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Factorisez 3t du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 4t-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Additionner 49 et 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{7±23}{24} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Réduire la fraction \frac{30}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{7±23}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 23 à 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{24} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{5}{4} par x_{1} et -\frac{2}{3} par x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Soustraire \frac{5}{4} de t en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Additionner \frac{2}{3} et t en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Multiplier \frac{4t-5}{4} par \frac{3t+2}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Multiplier 4 par 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 12 dans 12 et 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Évaluer

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$