Résoudre 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Factoriser

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 12c^{2}+ac+bc-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=-9 b=20$$

Réécrire 12c^{2}+11c-15 en tant qu’\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Factorisez 3c du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 4c-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de 11.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Additionner 121 et 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation c=\frac{-11±29}{24} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Réduire la fraction \frac{18}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation c=\frac{-11±29}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 29 à -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{24} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{4} par x_{1} et -\frac{5}{3} par x_{2}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Soustraire \frac{3}{4} de c en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Additionner \frac{5}{3} et c en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Multiplier \frac{4c-3}{4} par \frac{3c+5}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Multiplier 4 par 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 12 dans 12 et 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Évaluer

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$