Résoudre 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Factoriser

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 12z^{2}+az+bz-12. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-16 b=9$$

Réécrire 12z^{2}-7z-12 en tant qu’\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Factorisez 4z du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3z-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Additionner 49 et 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{7±25}{24} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Réduire la fraction \frac{32}{24} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{7±25}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 25 à 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{4}{3} par x_{1} et -\frac{3}{4} par x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Soustraire \frac{4}{3} de z en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Additionner \frac{3}{4} et z en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Multiplier \frac{3z-4}{3} par \frac{4z+3}{4} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Multiplier 3 par 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 12 dans 12 et 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Évaluer

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$