Résoudre 12x^2-7x+1

$$12 { x }^{ 2 } -7x+1$$

Factoriser

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 12x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=12\times 1=12$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-4 b=-3$$

Réécrire 12x^{2}-7x+1 en tant qu’\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Factorisez 4x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-7x+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 12}$$

Additionner 49 et -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 12}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{7±1}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±1}{24} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 1.

$$x=\frac{8}{24}$$

Réduire la fraction \frac{8}{24} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±1}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à 7.

$$x=\frac{6}{24}$$

Réduire la fraction \frac{6}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{1}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{1}{3} par x_{1} et \frac{1}{4} par x_{2}.

$$12x^{2}-7x+1=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Soustraire \frac{1}{3} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Soustraire \frac{1}{4} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x-1}{4}$$

Multiplier \frac{3x-1}{3} par \frac{4x-1}{4} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{3\times 4}$$

Multiplier 3 par 4.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{12}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 12 dans 12 et 12.

$$12x^{2}-7x+1=\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Évaluer

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$