Résoudre 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 12x^{2}+ax+bx+5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La solution est la paire qui donne la somme 32.

$$a=2 b=30$$

Réécrire 12x^{2}+32x+5 en tant qu’\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 6x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 6x+1=0 et 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 12 à a, 32 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Additionner 1024 et -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-32±28}{24} lorsque ± est positif. Additionner -32 et 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{24} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-32±28}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 28 à -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-60}{24} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Divisez les deux côtés par 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

La division par 12 annule la multiplication par 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Réduire la fraction \frac{32}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

DiVisez \frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{3} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Additionner -\frac{5}{12} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Factoriser x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Soustraire \frac{4}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$