Résoudre 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 12x^{2}+ax+bx+3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La solution est la paire qui donne la somme 13.

$$a=4 b=9$$

Réécrire 12x^{2}+13x+3 en tant qu’\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Factorisez 4x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+1=0 et 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 12 à a, 13 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Additionner 169 et -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±5}{24} lorsque ± est positif. Additionner -13 et 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{24} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±5}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 5 à -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

La soustraction de 3 de lui-même donne 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Divisez les deux côtés par 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

La division par 12 annule la multiplication par 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-3}{12} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Divisez \frac{13}{12}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{13}{24}. Ajouter ensuite le carré de \frac{13}{24} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{13}{24} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Additionner -\frac{1}{4} et \frac{169}{576} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Factor x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Soustraire \frac{13}{24} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$