Résoudre 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Calculer y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 3y^{2} des deux côtés.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Ajouter 4 aux deux côtés.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -3y^{2}+ay+by+4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=12 b=-1$$

Réécrire -3y^{2}+11y+4 en tant qu’\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Factoriser 3y dans -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Factoriser le facteur commun -y+4 en utilisant la distributivité.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -y+4=0 et 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Soustraire 3y^{2} des deux côtés.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Ajouter 4 aux deux côtés.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, 11 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 121 et 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-11±13}{-6} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Réduire la fraction \frac{2}{-6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-11±13}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Diviser -24 par -6.

$$y=4$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Étapes de l’élévation au carré

Soustraire 3y^{2} des deux côtés.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

La division par -3 annule la multiplication par -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Diviser 11 par -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Diviser -4 par -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Divisez -\frac{11}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Additionner \frac{4}{3} et \frac{121}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Ajouter \frac{11}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$