Résoudre 100=05/1+frac{r{2}}+05/{left(1+frac{r{2}right)}^2}+110/{left(1+frac{r{2}right)}^2}

$$100 = \frac{ 05 }{ 1+ \frac{ r }{ 2 } } + \frac{ 05 }{ { \left(1+ \frac{ r }{ 2 } \right) }^{ 2 } } + \frac{ 110 }{ { \left(1+ \frac{ r }{ 2 } \right) }^{ 2 } }$$

Calculer r

$$r=-\frac{\sqrt{110}}{5}-2\approx -4,097617696$$

$$r=\frac{\sqrt{110}}{5}-2\approx 0,097617696$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multiplier 0 et 5 pour obtenir 0.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0\times 5}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Multiplier 0 et 5 pour obtenir 0.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+2\times \frac{r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Exprimer 2\times \frac{r}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+\frac{2r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Annuler 2 et 2.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+r+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Pour élever \frac{r}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+r+\frac{r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 1+r par \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Étant donné que \frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}} et \frac{r^{2}}{2^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Effectuez les multiplications dans \left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Diviser 0 par \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}} en multipliant 0 par la réciproque de \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0\times 2^{2}}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0\times 4}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Multiplier 0 et 4 pour obtenir 0.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+2\times \frac{r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Exprimer 2\times \frac{r}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+\frac{2r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Annuler 2 et 2.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+r+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Pour élever \frac{r}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+r+\frac{r^{2}}{2^{2}}}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 1+r par \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{r^{2}}{2^{2}}}$$

Étant donné que \frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}} et \frac{r^{2}}{2^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}}{2^{2}}}$$

Effectuez les multiplications dans \left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}}$$

Diviser 110 par \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}} en multipliant 110 par la réciproque de \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110\times 2^{2}}{4+4r+r^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110\times 4}{4+4r+r^{2}}$$

Multiplier 110 et 4 pour obtenir 440.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{440}{4+4r+r^{2}}$$

Étant donné que \frac{0}{4+4r+r^{2}} et \frac{440}{4+4r+r^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur. Additionner 0 et 440 pour obtenir 440.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440}{4+4r+r^{2}}$$

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440}{4+4r+r^{2}}=100$$

Soustraire 100 des deux côtés.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440}{4+4r+r^{2}}-100=0$$

Factoriser 4+4r+r^{2}.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440}{\left(r+2\right)^{2}}-100=0$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 100 par \frac{\left(r+2\right)^{2}}{\left(r+2\right)^{2}}.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440}{\left(r+2\right)^{2}}-\frac{100\left(r+2\right)^{2}}{\left(r+2\right)^{2}}=0$$

Étant donné que \frac{440}{\left(r+2\right)^{2}} et \frac{100\left(r+2\right)^{2}}{\left(r+2\right)^{2}} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440-100\left(r+2\right)^{2}}{\left(r+2\right)^{2}}=0$$

Effectuez les multiplications dans 440-100\left(r+2\right)^{2}.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440-100r^{2}-400r-400}{\left(r+2\right)^{2}}=0$$

Combiner des termes semblables dans 440-100r^{2}-400r-400.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{40-100r^{2}-400r}{\left(r+2\right)^{2}}=0$$

La variable r ne peut pas être égale à -2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(r+2\right)^{2}.

$$\left(2r+4\right)\times 0+40-100r^{2}-400r=0$$

Réorganiser les termes.

$$-100r^{2}-400r+40=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -100 à a, -400 à b et 40 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-400\right)±\sqrt{\left(-400\right)^{2}-4\left(-100\right)\times 40}}{2\left(-100\right)}$$

Calculer le carré de -400.

$$r=\frac{-\left(-400\right)±\sqrt{160000-4\left(-100\right)\times 40}}{2\left(-100\right)}$$

Multiplier -4 par -100.

$$r=\frac{-\left(-400\right)±\sqrt{160000+400\times 40}}{2\left(-100\right)}$$

Multiplier 400 par 40.

$$r=\frac{-\left(-400\right)±\sqrt{160000+16000}}{2\left(-100\right)}$$

Additionner 160000 et 16000.

$$r=\frac{-\left(-400\right)±\sqrt{176000}}{2\left(-100\right)}$$

Extraire la racine carrée de 176000.

$$r=\frac{-\left(-400\right)±40\sqrt{110}}{2\left(-100\right)}$$

L’inverse de -400 est 400.

$$r=\frac{400±40\sqrt{110}}{2\left(-100\right)}$$

Multiplier 2 par -100.

$$r=\frac{400±40\sqrt{110}}{-200}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{400±40\sqrt{110}}{-200} lorsque ± est positif. Additionner 400 et 40\sqrt{110}.

$$r=\frac{40\sqrt{110}+400}{-200}$$

Diviser 400+40\sqrt{110} par -200.

$$r=-\frac{\sqrt{110}}{5}-2$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{400±40\sqrt{110}}{-200} lorsque ± est négatif. Soustraire 40\sqrt{110} à 400.

$$r=\frac{400-40\sqrt{110}}{-200}$$

Diviser 400-40\sqrt{110} par -200.

$$r=\frac{\sqrt{110}}{5}-2$$

L’équation est désormais résolue.

$$r=-\frac{\sqrt{110}}{5}-2 r=\frac{\sqrt{110}}{5}-2$$

Étapes de l’élévation au carré

Multiplier 0 et 5 pour obtenir 0.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0\times 5}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Multiplier 0 et 5 pour obtenir 0.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+2\times \frac{r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Exprimer 2\times \frac{r}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+\frac{2r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Annuler 2 et 2.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+r+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Pour élever \frac{r}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{1+r+\frac{r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 1+r par \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Étant donné que \frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}} et \frac{r^{2}}{2^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Effectuez les multiplications dans \left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{\frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Diviser 0 par \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}} en multipliant 0 par la réciproque de \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0\times 2^{2}}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0\times 4}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Multiplier 0 et 4 pour obtenir 0.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\frac{r}{2}\right)^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+2\times \frac{r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Exprimer 2\times \frac{r}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+\frac{2r}{2}+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Annuler 2 et 2.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+r+\left(\frac{r}{2}\right)^{2}}$$

Pour élever \frac{r}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{1+r+\frac{r^{2}}{2^{2}}}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 1+r par \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{r^{2}}{2^{2}}}$$

Étant donné que \frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}}{2^{2}} et \frac{r^{2}}{2^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\frac{\left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}}{2^{2}}}$$

Effectuez les multiplications dans \left(1+r\right)\times 2^{2}+r^{2}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110}{\frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}}$$

Diviser 110 par \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}} en multipliant 110 par la réciproque de \frac{4+4r+r^{2}}{2^{2}}.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110\times 2^{2}}{4+4r+r^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{110\times 4}{4+4r+r^{2}}$$

Multiplier 110 et 4 pour obtenir 440.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{0}{4+4r+r^{2}}+\frac{440}{4+4r+r^{2}}$$

Étant donné que \frac{0}{4+4r+r^{2}} et \frac{440}{4+4r+r^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur. Additionner 0 et 440 pour obtenir 440.

$$100=\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440}{4+4r+r^{2}}$$

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$\frac{0}{1+\frac{r}{2}}+\frac{440}{4+4r+r^{2}}=100$$

La variable r ne peut pas être égale à -2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(r+2\right)^{2}.

$$\left(2r+4\right)\times 0+440=100\left(r+2\right)^{2}$$

Réorganiser les termes.

$$440=100\left(r+2\right)^{2}$$

Divisez les deux côtés par 100.

$$\frac{440}{100}=\left(r+2\right)^{2}$$

Réduire la fraction \frac{440}{100} au maximum en extrayant et en annulant 20.

$$\frac{22}{5}=\left(r+2\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(r+2\right)^{2}.

$$\frac{22}{5}=r^{2}+4r+4$$

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$r^{2}+4r+4=\frac{22}{5}$$

Factor r^{2}+4r+4. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+2\right)^{2}=\frac{22}{5}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(r+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{5}}$$

Simplifier.

$$r+2=\frac{\sqrt{110}}{5} r+2=-\frac{\sqrt{110}}{5}$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$r=\frac{\sqrt{110}}{5}-2 r=-\frac{\sqrt{110}}{5}-2$$