Résoudre 10y^2-31y+15

$$10 y ^ { 2 } - 31 y + 15$$

Factoriser

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 10y^{2}+ay+by+15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-31 ab=10\times 15=150$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 150.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

La solution est la paire qui donne la somme -31.

$$a=-25 b=-6$$

Réécrire 10y^{2}-31y+15 en tant qu’\left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right).

$$\left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right)$$

Factorisez 5y du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$5y\left(2y-5\right)-3\left(2y-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2y-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}-31y+15=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Calculer le carré de -31.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplier -4 par 10.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplier -40 par 15.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-600}}{2\times 10}$$

Additionner 961 et -600.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Extraire la racine carrée de 361.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±19}{2\times 10}$$

L’inverse de -31 est 31.

$$y=\frac{31±19}{2\times 10}$$

Multiplier 2 par 10.

$$y=\frac{31±19}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{31±19}{20} lorsque ± est positif. Additionner 31 et 19.

$$y=\frac{50}{20}$$

Réduire la fraction \frac{50}{20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$y=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{31±19}{20} lorsque ± est négatif. Soustraire 19 à 31.

$$y=\frac{12}{20}$$

Réduire la fraction \frac{12}{20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$y=\frac{3}{5}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{5}{2} par x_{1} et \frac{3}{5} par x_{2}.

$$10y^{2}-31y+15=10\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Soustraire \frac{5}{2} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Soustraire \frac{3}{5} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\times \frac{5y-3}{5}$$

Multiplier \frac{2y-5}{2} par \frac{5y-3}{5} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{10}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 10 dans 10 et 10.

$$10y^{2}-31y+15=\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Évaluer

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$