Résoudre 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 10x^{2}+ax+bx-12. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-8 b=15$$

Réécrire 10x^{2}+7x-12 en tant qu’\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Factorisez 2x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-4=0 et 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 10 à a, 7 à b et -12 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Calculer le carré de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplier -4 par 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplier -40 par -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Additionner 49 et 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Extraire la racine carrée de 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Multiplier 2 par 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±23}{20} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Réduire la fraction \frac{16}{20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±23}{20} lorsque ± est négatif. Soustraire 23 à -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Ajouter 12 aux deux côtés de l’équation.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

La soustraction de -12 de lui-même donne 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Soustraire -12 à 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Divisez les deux côtés par 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

La division par 10 annule la multiplication par 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Réduire la fraction \frac{12}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Divisez \frac{7}{10}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{20}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{20} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{20} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Additionner \frac{6}{5} et \frac{49}{400} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Soustraire \frac{7}{20} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$