Résoudre 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Factoriser

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 10p^{2}+ap+bp+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

La solution est la paire qui donne la somme 9.

$$a=4 b=5$$

Réécrire 10p^{2}+9p+2 en tant qu’\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right).

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Factoriser 2p dans 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Factoriser le facteur commun 5p+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Calculer le carré de 9.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplier -4 par 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplier -40 par 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Additionner 81 et -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Multiplier 2 par 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-9±1}{20} lorsque ± est positif. Additionner -9 et 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-9±1}{20} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{2}{5} par x_{1} et -\frac{1}{2} par x_{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Additionner \frac{2}{5} et p en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Additionner \frac{1}{2} et p en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Multiplier \frac{5p+2}{5} par \frac{2p+1}{2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Multiplier 5 par 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Annuler 10, le plus grand facteur commun dans 10 et 10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Évaluer

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$