Résoudre 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Calculer k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 10k^{2}+ak+bk-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 9.

$$a=-1 b=10$$

Réécrire 10k^{2}+9k-1 en tant qu’\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Factoriser k dans 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Factoriser le facteur commun 10k-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 10k-1=0 et k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 10 à a, 9 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Calculer le carré de 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplier -4 par 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplier -40 par -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Additionner 81 et 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multiplier 2 par 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation k=\frac{-9±11}{20} lorsque ± est positif. Additionner -9 et 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Réduire la fraction \frac{2}{20} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation k=\frac{-9±11}{20} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Diviser -20 par 20.

$$k=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Divisez les deux côtés par 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

La division par 10 annule la multiplication par 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Divisez \frac{9}{10}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{9}{20}. Ajouter ensuite le carré de \frac{9}{20} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{9}{20} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Additionner \frac{1}{10} et \frac{81}{400} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Factor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Simplifier.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Soustraire \frac{9}{20} des deux côtés de l’équation.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$