Résoudre 10x^2+19x-15=0

$$10 { x }^{ 2 } +19x-15=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 10x^{2}+ax+bx-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=19 ab=10\left(-15\right)=-150$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -150.

$$-1,150 -2,75 -3,50 -5,30 -6,25 -10,15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+150=149 -2+75=73 -3+50=47 -5+30=25 -6+25=19 -10+15=5$$

La solution est la paire qui donne la somme 19.

$$a=-6 b=25$$

Réécrire 10x^{2}+19x-15 en tant qu’\left(10x^{2}-6x\right)+\left(25x-15\right).

$$\left(10x^{2}-6x\right)+\left(25x-15\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(5x-3\right)+5\left(5x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-3=0 et 2x+5=0.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$10x^{2}+19x-15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 10 à a, 19 à b et -15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Calculer le carré de 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Multiplier -4 par 10.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-40\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Multiplier -40 par -15.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+600}}{2\times 10}$$

Additionner 361 et 600.

$$x=\frac{-19±\sqrt{961}}{2\times 10}$$

Extraire la racine carrée de 961.

$$x=\frac{-19±31}{2\times 10}$$

Multiplier 2 par 10.

$$x=\frac{-19±31}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-19±31}{20} lorsque ± est positif. Additionner -19 et 31.

$$x=\frac{12}{20}$$

Réduire la fraction \frac{12}{20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{3}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-19±31}{20} lorsque ± est négatif. Soustraire 31 à -19.

$$x=-\frac{50}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-50}{20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+19x-15=0$$

Ajouter 15 aux deux côtés de l’équation.

$$10x^{2}+19x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

La soustraction de -15 de lui-même donne 0.

$$10x^{2}+19x=-\left(-15\right)$$

Soustraire -15 à 0.

$$10x^{2}+19x=15$$

Divisez les deux côtés par 10.

$$\frac{10x^{2}+19x}{10}=\frac{15}{10}$$

La division par 10 annule la multiplication par 10.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x=\frac{15}{10}$$

Réduire la fraction \frac{15}{10} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x=\frac{3}{2}$$

DiVisez \frac{19}{10}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{19}{20}. Ajouter ensuite le carré de \frac{19}{20} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\left(\frac{19}{20}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{19}{20}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{19}{20} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}=\frac{3}{2}+\frac{361}{400}$$

Additionner \frac{3}{2} et \frac{361}{400} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}=\frac{961}{400}$$

Factoriser x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{20}\right)^{2}=\frac{961}{400}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{400}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{19}{20}=\frac{31}{20} x+\frac{19}{20}=-\frac{31}{20}$$

Soustraire \frac{19}{20} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$