Résoudre -8x^2+19x-1=0

$$-8 { x }^{ 2 } +19x-1 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{329} + 19}{16} \approx 2,321147322$$

$$x=\frac{19-\sqrt{329}}{16}\approx 0,053852678$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-8x^{2}+19x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -8 à a, 19 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Calculer le carré de 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier -4 par -8.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+32\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier 32 par -1.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-32}}{2\left(-8\right)}$$

Additionner 361 et -32.

$$x=\frac{-19±\sqrt{329}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier 2 par -8.

$$x=\frac{-19±\sqrt{329}}{-16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-19±\sqrt{329}}{-16} lorsque ± est positif. Additionner -19 et \sqrt{329}.

$$x=\frac{\sqrt{329}-19}{-16}$$

Diviser -19+\sqrt{329} par -16.

$$x=\frac{19-\sqrt{329}}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-19±\sqrt{329}}{-16} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{329} à -19.

$$x=\frac{-\sqrt{329}-19}{-16}$$

Diviser -19-\sqrt{329} par -16.

$$x=\frac{\sqrt{329}+19}{16}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{19-\sqrt{329}}{16} x=\frac{\sqrt{329}+19}{16}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+19x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$-8x^{2}+19x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$-8x^{2}+19x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$-8x^{2}+19x=1$$

Divisez les deux côtés par -8.

$$\frac{-8x^{2}+19x}{-8}=\frac{1}{-8}$$

La division par -8 annule la multiplication par -8.

$$x^{2}+\frac{19}{-8}x=\frac{1}{-8}$$

Diviser 19 par -8.

$$x^{2}-\frac{19}{8}x=\frac{1}{-8}$$

Diviser 1 par -8.

$$x^{2}-\frac{19}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Divisez -\frac{19}{8}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{19}{16}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{19}{16} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{19}{8}x+\left(-\frac{19}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{19}{16}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{19}{16} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{19}{8}x+\frac{361}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{361}{256}$$

Additionner -\frac{1}{8} et \frac{361}{256} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{19}{8}x+\frac{361}{256}=\frac{329}{256}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{8}x+\frac{361}{256}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{16}\right)^{2}=\frac{329}{256}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{329}{256}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{19}{16}=\frac{\sqrt{329}}{16} x-\frac{19}{16}=-\frac{\sqrt{329}}{16}$$

Ajouter \frac{19}{16} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{329}+19}{16} x=\frac{19-\sqrt{329}}{16}$$