Résoudre -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -4 à a, 20 à b et -47 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Calculer le carré de 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier -4 par -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier 16 par -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Additionner 400 et -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Extraire la racine carrée de -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier 2 par -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} lorsque ± est positif. Additionner -20 et 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Diviser -20+4i\sqrt{22} par -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} lorsque ± est négatif. Soustraire 4i\sqrt{22} à -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Diviser -20-4i\sqrt{22} par -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Ajouter 47 aux deux côtés de l’équation.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

La soustraction de -47 de lui-même donne 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Soustraire -47 à 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

La division par -4 annule la multiplication par -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Diviser 20 par -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Diviser 47 par -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Divisez -5, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Additionner -\frac{47}{4} et \frac{25}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Ajouter \frac{5}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$