Résoudre -2x^2+x+15=0

$$-2 { x }^{ 2 } +x+15=0$$

Calculer x

$$x=3$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -2x^{2}+ax+bx+15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=-2\times 15=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=6 b=-5$$

Réécrire -2x^{2}+x+15 en tant qu’\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-5x+15\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+3 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+3=0 et 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-2x^{2}+x+15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -2 à a, 1 à b et 15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplier -4 par -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplier 8 par 15.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\left(-2\right)}$$

Additionner 1 et 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\left(-2\right)}$$

Multiplier 2 par -2.

$$x=\frac{-1±11}{-4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±11}{-4} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 11.

$$x=\frac{10}{-4}$$

Réduire la fraction \frac{10}{-4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±11}{-4} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à -1.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Diviser -12 par -4.

$$x=3$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{5}{2} x=3$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x+15=0$$

Soustraire 15 des deux côtés de l’équation.

$$-2x^{2}+x+15-15=-15$$

La soustraction de 15 de lui-même donne 0.

$$-2x^{2}+x=-15$$

Divisez les deux côtés par -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

La division par -2 annule la multiplication par -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

Diviser 1 par -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{15}{-2}$$

Diviser -15 par -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Divisez -\frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Additionner \frac{15}{2} et \frac{1}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Ajouter \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$