Résoudre -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -1 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1 et -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 1 et i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Diviser 1+i\sqrt{3} par -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{3} à 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Diviser 1-i\sqrt{3} par -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Diviser -1 par -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Diviser 1 par -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Additionner -1 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$