Résoudre -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Calculer x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -3x^{2}+ax+bx-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=3 b=1$$

Réécrire -3x^{2}+4x-1 en tant qu’\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Factorisez 3x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+1=0 et 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -9 à a, 12 à b et -3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Calculer le carré de 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplier -4 par -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplier 36 par -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Additionner 144 et -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Extraire la racine carrée de 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Multiplier 2 par -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-12±6}{-18} lorsque ± est positif. Additionner -12 et 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{-18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-12±6}{-18} lorsque ± est négatif. Soustraire 6 à -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Diviser -18 par -18.

$$x=1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

La soustraction de -3 de lui-même donne 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Soustraire -3 à 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Divisez les deux côtés par -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

La division par -9 annule la multiplication par -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Réduire la fraction \frac{12}{-9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Réduire la fraction \frac{3}{-9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divisez -\frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Additionner -\frac{1}{3} et \frac{4}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ajouter \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$