Résoudre -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Calculer b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -4 à a, 22 à b et -4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Calculer le carré de 22.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier -4 par -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier 16 par -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Additionner 484 et -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Extraire la racine carrée de 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplier 2 par -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Résolvez maintenant l’équation b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} lorsque ± est positif. Additionner -22 et 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Diviser -22+2\sqrt{105} par -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{105} à -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Diviser -22-2\sqrt{105} par -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

La soustraction de -4 de lui-même donne 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Soustraire -4 à 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

La division par -4 annule la multiplication par -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Réduire la fraction \frac{22}{-4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Diviser 4 par -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Divisez -\frac{11}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Additionner -1 et \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Factor b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Simplifier.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Ajouter \frac{11}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$