Résoudre -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Calculer x

$$x=4$$

$$x=13$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx-52. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

La solution est la paire qui donne la somme 17.

$$a=13 b=4$$

Réécrire -x^{2}+17x-52 en tant qu’\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Factorisez -x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Factoriser le facteur commun x-13 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-13=0 et -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, 51 à b et -156 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 2601 et -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-51±27}{-6} lorsque ± est positif. Additionner -51 et 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Diviser -24 par -6.

$$x=4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-51±27}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 27 à -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Diviser -78 par -6.

$$x=13$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=4 x=13$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Ajouter 156 aux deux côtés de l’équation.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

La soustraction de -156 de lui-même donne 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Soustraire -156 à 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

La division par -3 annule la multiplication par -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Diviser 51 par -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Diviser 156 par -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Divisez -17, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{17}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{17}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{17}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Additionner -52 et \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Factor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Ajouter \frac{17}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=13 x=4$$