Résoudre -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Calculer x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multiplier l’inégalité par -1 pour rendre le coefficient à la plus haute puissance dans -2x^{2}+12x-14 positif. Étant donné que -1 est négatif, la direction d’inégalité est modifiée.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, -12 pour b et 14 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Résoudre l’équation x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\left(\sqrt{2}+3\right) et x-\left(3-\sqrt{2}\right) doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\left(\sqrt{2}+3\right) est positif et x-\left(3-\sqrt{2}\right) négatif.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\left(3-\sqrt{2}\right) est positif et x-\left(\sqrt{2}+3\right) négatif.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$