Résoudre -18a^2-102a+168

$$- 18 a ^ { 2 } - 102 a + 168$$

Factoriser

$$6\left(-a-7\right)\left(3a-4\right)$$

Étapes de la solution

Exclure 6.

$$6\left(-3a^{2}-17a+28\right)$$

Considérer -3a^{2}-17a+28. Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme -3a^{2}+pa+qa+28. Pour rechercher p et q, configurez un système à résoudre.

$$p+q=-17 pq=-3\times 28=-84$$

Étant donné que pq est négatif, p et q ont des signes opposés. Étant donné que p+q est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

La solution est la paire qui donne la somme -17.

$$p=4 q=-21$$

Réécrire -3a^{2}-17a+28 en tant qu’\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right).

$$\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right)$$

Factorisez -a du premier et -7 dans le deuxième groupe.

$$-a\left(3a-4\right)-7\left(3a-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3a-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Réécrivez l’expression factorisée complète.

$$6\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$-18a^{2}-102a+168=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Calculer le carré de -102.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Multiplier -4 par -18.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+72\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Multiplier 72 par 168.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+12096}}{2\left(-18\right)}$$

Additionner 10404 et 12096.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{22500}}{2\left(-18\right)}$$

Extraire la racine carrée de 22500.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±150}{2\left(-18\right)}$$

L’inverse de -102 est 102.

$$a=\frac{102±150}{2\left(-18\right)}$$

Multiplier 2 par -18.

$$a=\frac{102±150}{-36}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{102±150}{-36} lorsque ± est positif. Additionner 102 et 150.

$$a=\frac{252}{-36}$$

Diviser 252 par -36.

$$a=-7$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{102±150}{-36} lorsque ± est négatif. Soustraire 150 à 102.

$$a=-\frac{48}{-36}$$

Réduire la fraction \frac{-48}{-36} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$a=\frac{4}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -7 par x_{1} et \frac{4}{3} par x_{2}.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a-\left(-7\right)\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Soustraire \frac{4}{3} de a en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\times \frac{-3a+4}{-3}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans -18 et 3.

$$-18a^{2}-102a+168=6\left(a+7\right)\left(-3a+4\right)$$

Évaluer

$$168-102a-18a^{2}$$