Résoudre -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Factoriser

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Étapes de la solution

Exclure 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Considérer -4t^{2}+24t-27. Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme -4t^{2}+at+bt-27. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

La solution est la paire qui donne la somme 24.

$$a=18 b=6$$

Réécrire -4t^{2}+24t-27 en tant qu’\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Factorisez -2t du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Factoriser le facteur commun 2t-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Réécrivez l’expression factorisée complète.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calculer le carré de 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier -4 par -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 64 par -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Additionner 9216 et -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Extraire la racine carrée de 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 2 par -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-96±48}{-32} lorsque ± est positif. Additionner -96 et 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Réduire la fraction \frac{-48}{-32} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-96±48}{-32} lorsque ± est négatif. Soustraire 48 à -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Réduire la fraction \frac{-144}{-32} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{2} par x_{1} et \frac{9}{2} par x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Soustraire \frac{3}{2} de t en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Soustraire \frac{9}{2} de t en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Multiplier \frac{-2t+3}{-2} par \frac{-2t+9}{-2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Multiplier -2 par -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 4 dans -16 et 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Évaluer

$$-16t^{2}+96t-108$$