Résoudre -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Calculer t

$$t=1$$

$$t=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 128 des deux côtés.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Soustraire 128 de 80 pour obtenir -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -t^{2}+at+bt-3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=3 b=1$$

Réécrire -t^{2}+4t-3 en tant qu’\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Factoriser -t dans -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Factoriser le facteur commun t-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez t-3=0 et -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Soustraire 128 des deux côtés de l’équation.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

La soustraction de 128 de lui-même donne 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Soustraire 128 à 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -16 à a, 64 à b et -48 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calculer le carré de 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier -4 par -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 64 par -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Additionner 4096 et -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Extraire la racine carrée de 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 2 par -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-64±32}{-32} lorsque ± est positif. Additionner -64 et 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Diviser -32 par -32.

$$t=1$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-64±32}{-32} lorsque ± est négatif. Soustraire 32 à -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Diviser -96 par -32.

$$t=3$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=1 t=3$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Soustraire 80 des deux côtés de l’équation.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

La soustraction de 80 de lui-même donne 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Soustraire 80 à 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Divisez les deux côtés par -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

La division par -16 annule la multiplication par -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Diviser 64 par -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Diviser 48 par -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Divisez -4, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -2. Ajouter ensuite le carré de -2 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Calculer le carré de -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Additionner -3 et 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Factor t^{2}-4t+4. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifier.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$t=3 t=1$$