Résoudre (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Calculer x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la distributivité pour multiplier 2x-3 par x+1 et combiner les termes semblables.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Pour trouver l’opposé de x-2, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Combiner -x et -x pour obtenir -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Additionner -3 et 2 pour obtenir -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, -2 pour b et -1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Résoudre l’équation x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} et x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} est positif et x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} négatif.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} est positif et x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} négatif.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$