Résoudre (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Calculer y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 3 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 9 et 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -3 et \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Diviser -3+\sqrt{29} par -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{29} à -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Diviser -3-\sqrt{29} par -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Diviser 3 par -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Diviser -5 par -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Additionner 5 et \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Factor y^{2}-3y+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$