Résoudre (y-4)^2=2y^2-11y-12

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 11 y - 12$$

Calculer y

$$y=-4$$

$$y=7$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Soustraire 2y^{2} des deux côtés.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combiner y^{2} et -2y^{2} pour obtenir -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Ajouter 11y aux deux côtés.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combiner -8y et 11y pour obtenir 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Ajouter 12 aux deux côtés.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Additionner 16 et 12 pour obtenir 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -y^{2}+ay+by+28. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=-28=-28$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 3.

$$a=7 b=-4$$

Réécrire -y^{2}+3y+28 en tant qu’\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right)$$

Factorisez -y du premier et -4 dans le deuxième groupe.

$$-y\left(y-7\right)-4\left(y-7\right)$$

Factoriser le facteur commun y-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-7\right)\left(-y-4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-7=0 et -y-4=0.

$$y=7 y=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Soustraire 2y^{2} des deux côtés.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combiner y^{2} et -2y^{2} pour obtenir -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Ajouter 11y aux deux côtés.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combiner -8y et 11y pour obtenir 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Ajouter 12 aux deux côtés.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Additionner 16 et 12 pour obtenir 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 3 à b et 28 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 28.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 9 et 112.

$$y=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$y=\frac{-3±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$y=\frac{-3±11}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-3±11}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 11.

$$y=\frac{8}{-2}$$

Diviser 8 par -2.

$$y=-4$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-3±11}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à -3.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Diviser -14 par -2.

$$y=7$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=-4 y=7$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Soustraire 2y^{2} des deux côtés.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combiner y^{2} et -2y^{2} pour obtenir -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Ajouter 11y aux deux côtés.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combiner -8y et 11y pour obtenir 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$-y^{2}+3y=-12-16$$

Soustraire 16 de -12 pour obtenir -28.

$$-y^{2}+3y=-28$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{28}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{28}{-1}$$

Diviser 3 par -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{28}{-1}$$

Diviser -28 par -1.

$$y^{2}-3y=28$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Additionner 28 et \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor y^{2}-3y+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$y=7 y=-4$$