Résoudre (x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3,6$$

$$x=4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par 3x+6 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par 12x+48 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combiner 3x^{2} et 12x^{2} pour obtenir 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Soustraire 192 de -24 pour obtenir -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-72. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -360.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -2.

$$a=-20 b=18$$

Réécrire 5x^{2}-2x-72 en tant qu’\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right).

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

Factorisez 5x du premier et 18 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-4=0 et 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par 3x+6 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par 12x+48 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combiner 3x^{2} et 12x^{2} pour obtenir 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Soustraire 192 de -24 pour obtenir -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 15 à a, -6 à b et -216 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par -216.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

Additionner 36 et 12960.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 12996.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

L’inverse de -6 est 6.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{6±114}{30} lorsque ± est positif. Additionner 6 et 114.

$$x=\frac{120}{30}$$

Diviser 120 par 30.

$$x=4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{6±114}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 114 à 6.

$$x=-\frac{108}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-108}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{18}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par 3x+6 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par 12x+48 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combiner 3x^{2} et 12x^{2} pour obtenir 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Soustraire 192 de -24 pour obtenir -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Ajouter 216 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$15x^{2}-6x=216$$

Divisez les deux côtés par 15.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

La division par 15 annule la multiplication par 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{15} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

Réduire la fraction \frac{216}{15} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

Divisez -\frac{2}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

Additionner \frac{72}{5} et \frac{1}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

Ajouter \frac{1}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$