Résoudre (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Calculer x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Étapes de la solution

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -6 pour b et 7 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Résoudre l’équation x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\left(\sqrt{2}+3\right) et x-\left(3-\sqrt{2}\right) doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\left(\sqrt{2}+3\right) est positif et x-\left(3-\sqrt{2}\right) négatif.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\left(3-\sqrt{2}\right) est positif et x-\left(\sqrt{2}+3\right) négatif.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$