Résoudre (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Calculer x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Étapes de la solution

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -4 pour b et -3 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Résoudre l’équation x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Pour que le produit soit ≥0, x-\left(\sqrt{7}+2\right) et x-\left(2-\sqrt{7}\right) doivent être ≤0 ou les deux ≥0. Examinons le cas lorsque x-\left(\sqrt{7}+2\right) et x-\left(2-\sqrt{7}\right) sont tous les deux ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Examinons le cas lorsque x-\left(\sqrt{7}+2\right) et x-\left(2-\sqrt{7}\right) sont tous les deux ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$