Résoudre (x-1)^2+2x(x-1)=0

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + 2 x ( x - 1 ) = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x par x-1.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

Combiner x^{2} et 2x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

Combiner -2x et -2x pour obtenir -4x.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-3 b=-1$$

Réécrire 3x^{2}-4x+1 en tant qu’\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Factorisez 3x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x par x-1.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

Combiner x^{2} et 2x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

Combiner -2x et -2x pour obtenir -4x.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -4 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Additionner 16 et -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\times 3}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±2}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±2}{6} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 2.

$$x=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±2}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à 4.

$$x=\frac{2}{6}$$

Réduire la fraction \frac{2}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x par x-1.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

Combiner x^{2} et 2x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

Combiner -2x et -2x pour obtenir -4x.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$3x^{2}-4x=-1$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divisez -\frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Additionner -\frac{1}{3} et \frac{4}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ajouter \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$