Résoudre (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Calculer v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Soustraire 2v^{2} des deux côtés.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combiner v^{2} et -2v^{2} pour obtenir -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Soustraire 2v des deux côtés.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combiner 8v et -2v pour obtenir 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Soustraire 9 des deux côtés.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Soustraire 9 de 16 pour obtenir 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -v^{2}+av+bv+7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=7 b=-1$$

Réécrire -v^{2}+6v+7 en tant qu’\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Factorisez -v du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Factoriser le facteur commun v-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez v-7=0 et -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Soustraire 2v^{2} des deux côtés.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combiner v^{2} et -2v^{2} pour obtenir -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Soustraire 2v des deux côtés.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combiner 8v et -2v pour obtenir 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Soustraire 9 des deux côtés.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Soustraire 9 de 16 pour obtenir 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 6 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 36 et 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation v=\frac{-6±8}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -6 et 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Diviser 2 par -2.

$$v=-1$$

Résolvez maintenant l’équation v=\frac{-6±8}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 8 à -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Diviser -14 par -2.

$$v=7$$

L’équation est désormais résolue.

$$v=-1 v=7$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Soustraire 2v^{2} des deux côtés.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combiner v^{2} et -2v^{2} pour obtenir -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Soustraire 2v des deux côtés.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combiner 8v et -2v pour obtenir 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Soustraire 16 de 9 pour obtenir -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Diviser 6 par -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Diviser -7 par -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Divisez -6, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -3. Ajouter ensuite le carré de -3 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Calculer le carré de -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Additionner 7 et 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Factor v^{2}-6v+9. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifier.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$v=7 v=-1$$