Résoudre (a-2b)^{2}(a+2b)^2-(a^2+4b^2)^2

$$( a - 2 b ) ^ { 2 } ( a + 2 b ) ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } ) ^ { 2 }$$

Évaluer

$$-16\left(ab\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} pour développer \left(a-2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a+2b\right)^{2}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pour développer \left(a+2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a^{2}+4ab+4b^{2}\right)-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier a^{2}-4ab+4b^{2} par a^{2}+4ab+4b^{2} et combiner les termes semblables.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pour développer \left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(\left(a^{2}\right)^{2}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}\right)$$

Pour trouver l’opposé de a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-a^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combiner a^{4} et -a^{4} pour obtenir 0.

$$-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combiner -8a^{2}b^{2} et -8a^{2}b^{2} pour obtenir -16a^{2}b^{2}.

$$-16a^{2}b^{2}+16b^{4}-16b^{4}$$

Combiner 16b^{4} et -16b^{4} pour obtenir 0.

$$-16a^{2}b^{2}$$

Développer

$$-16\left(ab\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} pour développer \left(a-2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a+2b\right)^{2}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pour développer \left(a+2b\right)^{2}.

$$\left(a^{2}-4ab+4b^{2}\right)\left(a^{2}+4ab+4b^{2}\right)-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier a^{2}-4ab+4b^{2} par a^{2}+4ab+4b^{2} et combiner les termes semblables.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} pour développer \left(a^{2}+4b^{2}\right)^{2}.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(\left(a^{2}\right)^{2}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16\left(b^{2}\right)^{2}\right)$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-\left(a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}\right)$$

Pour trouver l’opposé de a^{4}+8a^{2}b^{2}+16b^{4}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-a^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combiner a^{4} et -a^{4} pour obtenir 0.

$$-8a^{2}b^{2}+16b^{4}-8a^{2}b^{2}-16b^{4}$$

Combiner -8a^{2}b^{2} et -8a^{2}b^{2} pour obtenir -16a^{2}b^{2}.

$$-16a^{2}b^{2}+16b^{4}-16b^{4}$$

Combiner 16b^{4} et -16b^{4} pour obtenir 0.

$$-16a^{2}b^{2}$$