Résoudre (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Calculer x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Additionner 81 et 162 pour obtenir 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Combiner -90x et -180x pour obtenir -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Combiner 25x^{2} et 50x^{2} pour obtenir 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Soustraire 24 de 243 pour obtenir 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 75 pour a, -270 pour b et 219 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Résoudre l’équation x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} et x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} est positif et x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} négatif.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} est positif et x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} négatif.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$