Résoudre (8sqrt{x})^2=(4+sqrt{x})^2

$$( 8 \sqrt { x } ) ^ { 2 } = ( 4 + \sqrt { x } ) ^ { 2 }$$

Calculer x

$$x=\frac{16}{49}\approx 0,326530612$$

Étapes de la solution

Étendre \left(8\sqrt{x}\right)^{2}.

$$8^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{x}\right)^{2}$$

Calculer 8 à la puissance 2 et obtenir 64.

$$64\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x} à la puissance 2 et obtenir x.

$$64x=\left(4+\sqrt{x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(4+\sqrt{x}\right)^{2}.

$$64x=16+8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x} à la puissance 2 et obtenir x.

$$64x=16+8\sqrt{x}+x$$

Soustraire 8\sqrt{x} des deux côtés.

$$64x-8\sqrt{x}=16+x$$

Soustraire x des deux côtés.

$$64x-8\sqrt{x}-x=16$$

Combiner 64x et -x pour obtenir 63x.

$$63x-8\sqrt{x}=16$$

Soustraire 63x des deux côtés de l’équation.

$$-8\sqrt{x}=16-63x$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-8\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-63x+16\right)^{2}$$

Étendre \left(-8\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-63x+16\right)^{2}$$

Calculer -8 à la puissance 2 et obtenir 64.

$$64\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-63x+16\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x} à la puissance 2 et obtenir x.

$$64x=\left(-63x+16\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-63x+16\right)^{2}.

$$64x=3969x^{2}-2016x+256$$

Soustraire 3969x^{2} des deux côtés.

$$64x-3969x^{2}=-2016x+256$$

Ajouter 2016x aux deux côtés.

$$64x-3969x^{2}+2016x=256$$

Combiner 64x et 2016x pour obtenir 2080x.

$$2080x-3969x^{2}=256$$

Soustraire 256 des deux côtés.

$$2080x-3969x^{2}-256=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3969x^{2}+2080x-256=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3969 à a, 2080 à b et -256 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2080±\sqrt{2080^{2}-4\left(-3969\right)\left(-256\right)}}{2\left(-3969\right)}$$

Calculer le carré de 2080.

$$x=\frac{-2080±\sqrt{4326400-4\left(-3969\right)\left(-256\right)}}{2\left(-3969\right)}$$

Multiplier -4 par -3969.

$$x=\frac{-2080±\sqrt{4326400+15876\left(-256\right)}}{2\left(-3969\right)}$$

Multiplier 15876 par -256.

$$x=\frac{-2080±\sqrt{4326400-4064256}}{2\left(-3969\right)}$$

Additionner 4326400 et -4064256.

$$x=\frac{-2080±\sqrt{262144}}{2\left(-3969\right)}$$

Extraire la racine carrée de 262144.

$$x=\frac{-2080±512}{2\left(-3969\right)}$$

Multiplier 2 par -3969.

$$x=\frac{-2080±512}{-7938}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2080±512}{-7938} lorsque ± est positif. Additionner -2080 et 512.

$$x=-\frac{1568}{-7938}$$

Réduire la fraction \frac{-1568}{-7938} au maximum en extrayant et en annulant 98.

$$x=\frac{16}{81}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2080±512}{-7938} lorsque ± est négatif. Soustraire 512 à -2080.

$$x=-\frac{2592}{-7938}$$

Réduire la fraction \frac{-2592}{-7938} au maximum en extrayant et en annulant 162.

$$x=\frac{16}{49}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{16}{81} x=\frac{16}{49}$$

Remplacez x par \frac{16}{81} dans l’équation \left(8\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(8\sqrt{\frac{16}{81}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{\frac{16}{81}}\right)^{2}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{16}{81} ne satisfait pas l’équation.

$$\frac{1024}{81}=\frac{1600}{81}$$

Remplacez x par \frac{16}{49} dans l’équation \left(8\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(8\sqrt{\frac{16}{49}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{\frac{16}{49}}\right)^{2}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{16}{49} satisfait à l’équation.

$$\frac{1024}{49}=\frac{1024}{49}$$

L’équation -8\sqrt{x}=16-63x a une solution unique.

$$x=\frac{16}{49}$$