Résoudre (6-2sqrt{x})^2+6^2=8x

$$( 6 - 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 8 x$$

Calculer x

$$x=36-18\sqrt{3}\approx 4,823085464$$

Étapes de la solution

Calculer 6 à la puissance 2 et obtenir 36.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36=8x$$

Soustraire 8x des deux côtés.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36-24\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Calculer \sqrt{x} à la puissance 2 et obtenir x.

$$36-24\sqrt{x}+4x+36-8x=0$$

Additionner 36 et 36 pour obtenir 72.

$$72-24\sqrt{x}+4x-8x=0$$

Combiner 4x et -8x pour obtenir -4x.

$$72-24\sqrt{x}-4x=0$$

Soustraire 72 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-24\sqrt{x}-4x=-72$$

Soustraire -4x des deux côtés de l’équation.

$$-24\sqrt{x}=-72+4x$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-24\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Étendre \left(-24\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-24\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Calculer -24 à la puissance 2 et obtenir 576.

$$576\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x} à la puissance 2 et obtenir x.

$$576x=\left(4x-72\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(4x-72\right)^{2}.

$$576x=16x^{2}-576x+5184$$

Soustraire 16x^{2} des deux côtés.

$$576x-16x^{2}=-576x+5184$$

Ajouter 576x aux deux côtés.

$$576x-16x^{2}+576x=5184$$

Combiner 576x et 576x pour obtenir 1152x.

$$1152x-16x^{2}=5184$$

Soustraire 5184 des deux côtés.

$$1152x-16x^{2}-5184=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-16x^{2}+1152x-5184=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -16 à a, 1152 à b et -5184 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1152^{2}-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calculer le carré de 1152.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier -4 par -16.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104+64\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 64 par -5184.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-331776}}{2\left(-16\right)}$$

Additionner 1327104 et -331776.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{995328}}{2\left(-16\right)}$$

Extraire la racine carrée de 995328.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 2 par -16.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} lorsque ± est positif. Additionner -1152 et 576\sqrt{3}.

$$x=\frac{576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Diviser -1152+576\sqrt{3} par -32.

$$x=36-18\sqrt{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} lorsque ± est négatif. Soustraire 576\sqrt{3} à -1152.

$$x=\frac{-576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Diviser -1152-576\sqrt{3} par -32.

$$x=18\sqrt{3}+36$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=36-18\sqrt{3} x=18\sqrt{3}+36$$

Remplacez x par 36-18\sqrt{3} dans l’équation \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{36-18\sqrt{3}}\right)^{2}+6^{2}=8\left(36-18\sqrt{3}\right)$$

Simplifier. La valeur x=36-18\sqrt{3} satisfait à l’équation.

$$288-144\times 3^{\frac{1}{2}}=288-144\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par 18\sqrt{3}+36 dans l’équation \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{18\sqrt{3}+36}\right)^{2}+6^{2}=8\left(18\sqrt{3}+36\right)$$

Simplifier. La valeur x=18\sqrt{3}+36 ne satisfait pas l’équation.

$$144=144\times 3^{\frac{1}{2}}+288$$

L’équation -24\sqrt{x}=4x-72 a une solution unique.

$$x=36-18\sqrt{3}$$