Résoudre (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Calculer x

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Soustraire 81 des deux côtés.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Soustraire 81 de 16 pour obtenir -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-13. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -65.

$$1,-65 5,-13$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-13 b=5$$

Réécrire 5x^{2}-8x-13 en tant qu’\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Factoriser x dans 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Factoriser le facteur commun 5x-13 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-13=0 et x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Soustraire 81 des deux côtés.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Soustraire 81 de 16 pour obtenir -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 25 à a, -40 à b et -65 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Additionner 1600 et 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

L’inverse de -40 est 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{40±90}{50} lorsque ± est positif. Additionner 40 et 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Réduire la fraction \frac{130}{50} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{13}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{40±90}{50} lorsque ± est négatif. Soustraire 90 à 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Diviser -50 par 50.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Soustraire 16 de 81 pour obtenir 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Divisez les deux côtés par 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

La division par 25 annule la multiplication par 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{25} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Réduire la fraction \frac{65}{25} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Divisez -\frac{8}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{4}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{4}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{4}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Additionner \frac{13}{5} et \frac{16}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Ajouter \frac{4}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$