Résoudre (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considérer \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Étendre \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pour trouver l’opposé de 4x^{2}-1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combiner 25x^{2} et -4x^{2} pour obtenir 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Additionner 4 et 1 pour obtenir 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Soustraire 47 des deux côtés.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Soustraire 47 de 5 pour obtenir -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Soustraire x des deux côtés.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combiner -20x et -x pour obtenir -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Divisez les deux côtés par 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-2 b=1$$

Réécrire x^{2}-x-2 en tant qu’\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Factoriser x dans x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-2=0 et x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considérer \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Étendre \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pour trouver l’opposé de 4x^{2}-1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combiner 25x^{2} et -4x^{2} pour obtenir 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Additionner 4 et 1 pour obtenir 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Soustraire 47 des deux côtés.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Soustraire 47 de 5 pour obtenir -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Soustraire x des deux côtés.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combiner -20x et -x pour obtenir -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 21 à a, -21 à b et -42 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Calculer le carré de -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplier -4 par 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplier -84 par -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Additionner 441 et 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Extraire la racine carrée de 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

L’inverse de -21 est 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multiplier 2 par 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{21±63}{42} lorsque ± est positif. Additionner 21 et 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Diviser 84 par 42.

$$x=2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{21±63}{42} lorsque ± est négatif. Soustraire 63 à 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Diviser -42 par 42.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=2 x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considérer \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Étendre \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Pour trouver l’opposé de 4x^{2}-1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combiner 25x^{2} et -4x^{2} pour obtenir 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Additionner 4 et 1 pour obtenir 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Soustraire x des deux côtés.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Combiner -20x et -x pour obtenir -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Soustraire 5 des deux côtés.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Soustraire 5 de 47 pour obtenir 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Divisez les deux côtés par 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

La division par 21 annule la multiplication par 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Diviser -21 par 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Diviser 42 par 21.

$$x^{2}-x=2$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Additionner 2 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-1$$