Résoudre (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Calculer x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Soustraire 16 de 49 pour obtenir 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 25x^{2}+ax+bx+33. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

La solution est la paire qui donne la somme 70.

$$a=15 b=55$$

Réécrire 25x^{2}+70x+33 en tant qu’\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Factorisez 5x du premier et 11 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x+3 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x+3=0 et 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Soustraire 16 de 49 pour obtenir 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 25 à a, 70 à b et 33 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Additionner 4900 et -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-70±40}{50} lorsque ± est positif. Additionner -70 et 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{50} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-70±40}{50} lorsque ± est négatif. Soustraire 40 à -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Réduire la fraction \frac{-110}{50} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Soustraire 49 des deux côtés.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Soustraire 49 de 16 pour obtenir -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Divisez les deux côtés par 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

La division par 25 annule la multiplication par 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Réduire la fraction \frac{70}{25} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Divisez \frac{14}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{5}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Additionner -\frac{33}{25} et \frac{49}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Soustraire \frac{7}{5} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$