Résoudre (4x-3)^2=64

$$( 4 x - 3 ) ^ { 2 } = 64$$

Calculer x

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Soustraire 64 des deux côtés.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Soustraire 64 de 9 pour obtenir -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 16x^{2}+ax+bx-55. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-24 ab=16\left(-55\right)=-880$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -880.

$$1,-880 2,-440 4,-220 5,-176 8,-110 10,-88 11,-80 16,-55 20,-44 22,-40$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-880=-879 2-440=-438 4-220=-216 5-176=-171 8-110=-102 10-88=-78 11-80=-69 16-55=-39 20-44=-24 22-40=-18$$

La solution est la paire qui donne la somme -24.

$$a=-44 b=20$$

Réécrire 16x^{2}-24x-55 en tant qu’\left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right).

$$\left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right)$$

Factorisez 4x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(4x-11\right)+5\left(4x-11\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-11 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-11\right)\left(4x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-11=0 et 4x+5=0.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Soustraire 64 des deux côtés.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Soustraire 64 de 9 pour obtenir -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 16 à a, -24 à b et -55 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Calculer le carré de -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Multiplier -4 par 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Multiplier -64 par -55.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3520}}{2\times 16}$$

Additionner 576 et 3520.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{4096}}{2\times 16}$$

Extraire la racine carrée de 4096.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±64}{2\times 16}$$

L’inverse de -24 est 24.

$$x=\frac{24±64}{2\times 16}$$

Multiplier 2 par 16.

$$x=\frac{24±64}{32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{24±64}{32} lorsque ± est positif. Additionner 24 et 64.

$$x=\frac{88}{32}$$

Réduire la fraction \frac{88}{32} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{11}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{24±64}{32} lorsque ± est négatif. Soustraire 64 à 24.

$$x=-\frac{40}{32}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{32} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{5}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Soustraire 9 des deux côtés.

$$16x^{2}-24x=64-9$$

Soustraire 9 de 64 pour obtenir 55.

$$16x^{2}-24x=55$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=\frac{55}{16}$$

La division par 16 annule la multiplication par 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=\frac{55}{16}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{55}{16}$$

Divisez -\frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{55}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{55+9}{16}$$

Additionner \frac{55}{16} et \frac{9}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=4$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=4$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{4}=2 x-\frac{3}{4}=-2$$

Ajouter \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$