Résoudre (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Calculer x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Multiplier les deux côtés de l’équation par 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplier 16 et 3 pour obtenir 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Annulez le facteur commun le plus grand 2 dans 8 et 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pour élever \frac{x\sqrt{3}}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 48 par \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Étant donné que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} et \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplier 48 et 4 pour obtenir 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Étendre \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Exprimer 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Annuler 4 et 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplier 16 et 3 pour obtenir 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combiner x^{2}\times 3 et x^{2} pour obtenir 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Soustraire 624 des deux côtés.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Soustraire 624 de 192 pour obtenir -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-108. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 12.

$$a=-6 b=18$$

Réécrire x^{2}+12x-108 en tant qu’\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Factorisez x du premier et 18 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Factoriser le facteur commun x-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-6=0 et x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multiplier les deux côtés de l’équation par 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplier 16 et 3 pour obtenir 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Annulez le facteur commun le plus grand 2 dans 8 et 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pour élever \frac{x\sqrt{3}}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 48 par \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Étant donné que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} et \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplier 48 et 4 pour obtenir 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Étendre \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Exprimer 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Annuler 4 et 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplier 16 et 3 pour obtenir 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combiner x^{2}\times 3 et x^{2} pour obtenir 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Soustraire 624 des deux côtés.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Soustraire 624 de 192 pour obtenir -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 48 à b et -432 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Additionner 2304 et 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-48±96}{8} lorsque ± est positif. Additionner -48 et 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Diviser 48 par 8.

$$x=6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-48±96}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 96 à -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Diviser -144 par 8.

$$x=-18$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=6 x=-18$$

Étapes de l’élévation au carré

Multiplier les deux côtés de l’équation par 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplier 16 et 3 pour obtenir 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Annulez le facteur commun le plus grand 2 dans 8 et 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pour élever \frac{x\sqrt{3}}{2} à une puissance, élevez le numérateur et le dénominateur à la puissance, puis divisez-les.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 48 par \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Étant donné que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} et \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplier 48 et 4 pour obtenir 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Étendre \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Exprimer 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Annuler 4 et 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplier 16 et 3 pour obtenir 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combiner x^{2}\times 3 et x^{2} pour obtenir 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Soustraire 192 des deux côtés.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Soustraire 192 de 624 pour obtenir 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Diviser 48 par 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Diviser 432 par 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Divisez 12, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer 6. Ajouter ensuite le carré de 6 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Calculer le carré de 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Additionner 108 et 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Factor x^{2}+12x+36. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplifier.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$x=6 x=-18$$