Résoudre (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Calculer x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la distributivité pour multiplier 3x-5 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Combiner 3x^{2} et -x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, 1 pour b et -10 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Résoudre l’équation x=\frac{-1±9}{4} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Pour que le produit soit ≤0, l’une des valeurs x-2 et x+\frac{5}{2} doit être ≥0 et l’autre doit être ≤0. Examinons le cas lorsque x-2\geq 0 et x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Examinons le cas lorsque x-2\leq 0 et x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$