Résoudre (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Calculer x

$$x=8$$

$$x=15$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calculer 17 à la puissance 2 et obtenir 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Soustraire 289 des deux côtés.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Soustraire 289 de 529 pour obtenir 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx+120. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solution est la paire qui donne la somme -23.

$$a=-15 b=-8$$

Réécrire x^{2}-23x+120 en tant qu’\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Factorisez x du premier et -8 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Factoriser le facteur commun x-15 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-15=0 et x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calculer 17 à la puissance 2 et obtenir 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Soustraire 289 des deux côtés.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Soustraire 289 de 529 pour obtenir 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -46 à b et 240 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Additionner 2116 et -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

L’inverse de -46 est 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{46±14}{4} lorsque ± est positif. Additionner 46 et 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Diviser 60 par 4.

$$x=15$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{46±14}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Diviser 32 par 4.

$$x=8$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=15 x=8$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calculer 17 à la puissance 2 et obtenir 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Soustraire 529 des deux côtés.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Soustraire 529 de 289 pour obtenir -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Diviser -46 par 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Diviser -240 par 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Divisez -23, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{23}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{23}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{23}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Additionner -120 et \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-23x+\frac{529}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Ajouter \frac{23}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=15 x=8$$