Résoudre (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Factoriser

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Étapes de la solution

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme -10x^{2}+ax+bx+22. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

La solution est la paire qui donne la somme 51.

$$a=55 b=-4$$

Réécrire -10x^{2}+51x+22 en tant qu’\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Factorisez -5x du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-11 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Calculer le carré de 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplier -4 par -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplier 40 par 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Additionner 2601 et 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Extraire la racine carrée de 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Multiplier 2 par -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-51±59}{-20} lorsque ± est positif. Additionner -51 et 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Réduire la fraction \frac{8}{-20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-51±59}{-20} lorsque ± est négatif. Soustraire 59 à -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Réduire la fraction \frac{-110}{-20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{2}{5} par x_{1} et \frac{11}{2} par x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Additionner \frac{2}{5} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Soustraire \frac{11}{2} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Multiplier \frac{-5x-2}{-5} par \frac{-2x+11}{-2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Multiplier -5 par -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 10 dans -10 et 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Évaluer

$$22+51x-10x^{2}$$