Résoudre (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Calculer x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+10x+25, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combiner -12x et -10x pour obtenir -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Soustraire 25 de 9 pour obtenir -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Ajouter 23 aux deux côtés.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Additionner -16 et 23 pour obtenir 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

La solution est la paire qui donne la somme -22.

$$a=-21 b=-1$$

Réécrire 3x^{2}-22x+7 en tant qu’\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Factorisez 3x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-7=0 et 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+10x+25, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combiner -12x et -10x pour obtenir -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Soustraire 25 de 9 pour obtenir -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Ajouter 23 aux deux côtés.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Additionner -16 et 23 pour obtenir 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -22 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Additionner 484 et -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

L’inverse de -22 est 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{22±20}{6} lorsque ± est positif. Additionner 22 et 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Diviser 42 par 6.

$$x=7$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{22±20}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 20 à 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Réduire la fraction \frac{2}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+10x+25, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combiner -12x et -10x pour obtenir -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Soustraire 25 de 9 pour obtenir -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Ajouter 16 aux deux côtés.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Additionner -23 et 16 pour obtenir -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divisez -\frac{22}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Additionner -\frac{7}{3} et \frac{121}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Ajouter \frac{11}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$