Résoudre (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Étapes de la solution

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Pour trouver l’opposé de 9x^{2}-12x+4, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Combiner -9x^{2} et -40x^{2} pour obtenir -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Ajouter 205 aux deux côtés.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Additionner -4 et 205 pour obtenir 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -5x par 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Utilisez la distributivité pour multiplier -35x+15x^{2} par 7+3x et combiner les termes semblables.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combiner 16x et -245x pour obtenir -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combiner 4x^{2} et -49x^{2} pour obtenir -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Combiner -229x et 12x pour obtenir -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Additionner 16 et 201 pour obtenir 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Réorganiser l’équation pour utiliser le format standard. Ordonner les termes de la puissance la plus élevée à celle la plus faible.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 217 et q divise le 45 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=1$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 par x-1 pour obtenir 45x^{2}-217. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 45 pour a, 0 pour b et -217 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Résoudre l’équation 45x^{2}-217=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$