Résoudre (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Calculer x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x+3 par x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par x+40 et combiner les termes semblables.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combiner 3x^{2} et x^{2} pour obtenir 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combiner -32x et 36x pour obtenir 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Soustraire 160 de -48 pour obtenir -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x-8 par x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Soustraire 2x^{3} des deux côtés.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combiner 2x^{3} et -2x^{3} pour obtenir 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Ajouter 32x aux deux côtés.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combiner 4x et 32x pour obtenir 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Ajouter 8x^{2} aux deux côtés.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combiner 4x^{2} et 8x^{2} pour obtenir 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Soustraire 128 des deux côtés.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Soustraire 128 de -208 pour obtenir -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Divisez les deux côtés par 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-28. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 3.

$$a=-4 b=7$$

Réécrire x^{2}+3x-28 en tant qu’\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Factorisez x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-4=0 et x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x+3 par x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par x+40 et combiner les termes semblables.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combiner 3x^{2} et x^{2} pour obtenir 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combiner -32x et 36x pour obtenir 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Soustraire 160 de -48 pour obtenir -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x-8 par x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Soustraire 2x^{3} des deux côtés.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combiner 2x^{3} et -2x^{3} pour obtenir 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Ajouter 32x aux deux côtés.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combiner 4x et 32x pour obtenir 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Ajouter 8x^{2} aux deux côtés.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combiner 4x^{2} et 8x^{2} pour obtenir 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Soustraire 128 des deux côtés.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Soustraire 128 de -208 pour obtenir -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 12 à a, 36 à b et -336 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Additionner 1296 et 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-36±132}{24} lorsque ± est positif. Additionner -36 et 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Diviser 96 par 24.

$$x=4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-36±132}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 132 à -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Diviser -168 par 24.

$$x=-7$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=4 x=-7$$

Étapes de l’élévation au carré

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x+3 par x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-4 par x+40 et combiner les termes semblables.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combiner 3x^{2} et x^{2} pour obtenir 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combiner -32x et 36x pour obtenir 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Soustraire 160 de -48 pour obtenir -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2x-8 par x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Soustraire 2x^{3} des deux côtés.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combiner 2x^{3} et -2x^{3} pour obtenir 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Ajouter 32x aux deux côtés.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combiner 4x et 32x pour obtenir 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Ajouter 8x^{2} aux deux côtés.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combiner 4x^{2} et 8x^{2} pour obtenir 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Ajouter 208 aux deux côtés.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Additionner 128 et 208 pour obtenir 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Divisez les deux côtés par 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

La division par 12 annule la multiplication par 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Diviser 36 par 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Diviser 336 par 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Divisez 3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Additionner 28 et \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Soustraire \frac{3}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=4 x=-7$$