Résoudre (2t-3)^2-8(2t-3)+7=0

$$( 2 t - 3 ) ^ { 2 } - 8 ( 2 t - 3 ) + 7 = 0$$

Calculer t

$$t=2$$

$$t=5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -8 par 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Combiner -12t et -16t pour obtenir -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Additionner 9 et 24 pour obtenir 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Additionner 33 et 7 pour obtenir 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$t^{2}-7t+10=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que t^{2}+at+bt+10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-5 b=-2$$

Réécrire t^{2}-7t+10 en tant qu’\left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right).

$$\left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right)$$

Factorisez t du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$t\left(t-5\right)-2\left(t-5\right)$$

Factoriser le facteur commun t-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(t-5\right)\left(t-2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez t-5=0 et t-2=0.

$$t=5 t=2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -8 par 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Combiner -12t et -16t pour obtenir -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Additionner 9 et 24 pour obtenir 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Additionner 33 et 7 pour obtenir 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -28 à b et 40 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -28.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 40.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Additionner 784 et -640.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 144.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±12}{2\times 4}$$

L’inverse de -28 est 28.

$$t=\frac{28±12}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$t=\frac{28±12}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{28±12}{8} lorsque ± est positif. Additionner 28 et 12.

$$t=\frac{40}{8}$$

Diviser 40 par 8.

$$t=5$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{28±12}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 12 à 28.

$$t=\frac{16}{8}$$

Diviser 16 par 8.

$$t=2$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=5 t=2$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -8 par 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Combiner -12t et -16t pour obtenir -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Additionner 9 et 24 pour obtenir 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Additionner 33 et 7 pour obtenir 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Soustraire 40 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$4t^{2}-28t=-40$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4t^{2}-28t}{4}=-\frac{40}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$t^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)t=-\frac{40}{4}$$

Diviser -28 par 4.

$$t^{2}-7t=-\frac{40}{4}$$

Diviser -40 par 4.

$$t^{2}-7t=-10$$

Divisez -7, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-7t+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Additionner -10 et \frac{49}{4}.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor t^{2}-7t+\frac{49}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifier.

$$t-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} t-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Ajouter \frac{7}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$t=5 t=2$$